Greg Monroe se narodil 12. června 1990 v Harvey v Illinois. Už od mládí se projevoval jeho talent pro basketbal, který rozvíjel na střední škole. Jeho dominantní postava a herní projev ho předurčovaly pro roli silového centra, která se stala jeho poznávacím znamením v celé jeho kariéře.
Po úspěšné středoškolské kariéře zamířil Monroe na Georgetown University, kde strávil dva roky. Během svého působení v týmu Georgetown Hoyas si vybudoval pověst univerzálního hráče s dobrou hrou zády ke koši, schopností doskakovat a přihrávat. V sezóně 2009-2010 zaznamenal průměry 16,1 bodu, 9,6 doskoku a 2,4 asistence na zápas, což mu vyneslo nominaci do výběru All-Big East First Team. Tyto výkony ho nasměrovaly k rozhodnutí vstoupit do profesionálního basketbalu.
V roce 2010 byl Greg Monroe draftován jako 7. celkově týmem Detroit Pistons. V dresu Pistons se rychle stal důležitou součástí sestavy. V první sezóně (2010-2011) si připsal průměry 9,0 bodů a 6,1 doskoku. Jeho role se postupně zvětšovala a ve druhé sezóně (2011-2012) už zaznamenal 15,4 bodu a 9,7 doskoku. V sezóně 2012-2013 dokonce dosáhl na své dosavadní kariérní maximum v počtu asistencí na zápas, když si připsal 3,5. Monroe byl pro Pistons důležitým hráčem, který nabízel fyzickou přítomnost pod košem a schopnost vytvářet šance pro spoluhráče.
Po čtyřech sezónách v Detroitu, kde se jeho budoucnost v týmu stala nejistou, se Monroe v roce 2015 stal volným hráčem. Následně podepsal smlouvu s Milwaukee Bucks. V dresu Bucks pokračoval ve své konzistentní hře, i když jeho role se v týmu proměňovala. V první sezóně v Milwaukee (2015-2016) zaznamenal 15,3 bodu a 8,8 doskoku. Jeho schopnost efektivně zakončovat zblízka a přispívat k doskokům zůstávala cennou devizou.
V polovině sezóny 2016-2017 došlo k výměně, která poslala Grega Monroea do Phoenix Suns. V Phoenixu však strávil jen krátkou dobu, než se jeho kariérní cesta stočila k Boston Celtics. V Bostonu se stal součástí rotace, kde nabízel cenné minuty jako náhrada za základní pivoty. Během svého působení v Celtics si zachoval svou typickou hru, zaměřenou na zakončování z blízkosti a aktivitu na doskoku.
Po zkušenostech v NBA se Greg Monroe vydal na zahraniční angažmá. V roce 2019 podepsal smlouvu s italským klubem Bayern Mnichov. V Eurolize ukázal, že stále disponuje svými schopnostmi a byl důležitým hráčem bavorského celku. V sezóně 2019-2020 zaznamenal v německé Bundeslize průměry 11,7 bodu a 5,9 doskoku. Po úspěšném působení v Mnichově se v roce 2020 vrátil do Itálie, tentokrát do týmu Olimpia Milano. S Milánem si připsal další úspěšnou sezónu v italské lize i v Eurolize, kde ukázal své zkušenosti a basketbalovou chytrost.
V roce 2021 se Greg Monroe vrátil do zámoří a podepsal krátkodobou smlouvu s Minnesota Timberwolves, kde se na krátko objevil v NBA. Jeho kariéra však pokračovala v Evropě. V roce 2022 zamířil do Real Madrid Baloncesto, kde se stal dalším zkušeným hráčem v silném evropském celku. S Realem Madrid si připsal další cenné zkušenosti a úspěchy na evropské scéně.
Greg Monroe je známý svou pracovitostí a profesionálním přístupem k basketbalu. Během své kariéry si vybudoval pověst spolehlivého týmového hráče, který vždy odvedl svou práci. Mimo palubovku se o jeho soukromém životě mnoho neví, což svědčí o jeho soustředění na basketbalovou kariéru.